Mühle gelöst: die Zahlen hinter dem ewigen Remis

Aktualisiert: 29. September 2026 · Von Stefan

Schnelle Antwort: Ja, Mühle ist gelöst: Bei perfektem Spiel endet jede Partie remis – seit 1993 bewiesen und von uns unabhängig gegen alle fünf veröffentlichten Prüf-Datenbanken exakt nachgerechnet. Interessanter ist eine zweite Zahl: Ob bei drei Steinen gesprungen werden darf, hebt die Gewinnchance von fünf gegen vier Steine von 0,1 % auf 92 % – eigene exakte Rechnung über alle 165 Millionen Stellungen dieses Teilraums.

Kaum ein Satz über Mühle wird so oft wiederholt und so selten eingeordnet wie „das Spiel ist doch sowieso remis“. Wer das ernst nimmt, hält jede einzelne Entscheidung am Brett für bedeutungslos – und liegt damit erstaunlich daneben. Schon eine einzige Regelfrage, die an den meisten Küchentischen nie gestellt wird, entscheidet darüber, ob ein Stein Vorsprung im Endspiel praktisch nichts wert ist oder fast immer gewinnt.

Dieser Datenpost zum Mühle-Portrait in unseren Spiel-Portraits sortiert genau das: welche der im Netz kursierenden Zahlen zu Mühle stimmen, welche zu einem anderen Regelsatz gehören, und was eine eigene, vollständig durchgerechnete Endspiel-Analyse über Sprungregel, Zwickmühlen und die besten Setzfelder hergibt. Grundlage sind ein selbst geschriebener Löser für fünf verbreitete Regelsätze und eine Simulation zwischen Rechen-Agenten für das Gesamtspiel – beides mit Methodik und Grenzen weiter unten offengelegt. Wir betreiben hier keinen Test und geben keine Kaufempfehlung, sondern eine Strategie-Analyse auf Basis der Spielmechanik.

Regelbasis dieser Seite: Fünf Regelsätze werden parallel gerechnet – Turnier (Springen erlaubt, Blockade = Verlust, Schlagen aus einer Mühle nur, wenn alle gegnerischen Steine in Mühlen stehen), Verlag (Schmidt 49147: wie Turnier, aber aus Mühlen wird nie geschlagen; das Ravensburger-Heft 20545 liegt dazwischen – gegen einen Springer gewinnt jede Mühle sofort, sonst wird nie aus Mühlen geschlagen), Philos (Art. 3295: wie Verlag, Blockade im Regeltext nicht geregelt – zwei Lesarten), und ASS (Altenburger 100er: wie Verlag, aber ohne Sprungregel). Wo eine Zahl zu einem bestimmten Regelsatz gehört, steht das dabei.

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Ist Mühle wirklich gelöst? Fünf unabhängige Rechnungen, ein Ergebnis

Mühle ist nach unserer Recherche (Stand September 2026) mindestens vier-, wenn nicht fünfmal unabhängig durchgerechnet worden – und jede dieser Rechnungen kommt zum selben Ergebnis: Remis bei perfektem Spiel. (Anders als bei Dame, dessen Remis-Beweis nur für die angelsächsische Fassung gilt, betrifft das hier die Standardregel.)

Ralph Gasser (ETH Zürich) löste die Standardregel 1993/1996 per Retrograde-Analyse; Thomas Lincke baute 1994 als Gassers eigener Diplomand darauf auf; Gábor Gévay und Gábor Danner (Universität Szeged) lösten das Spiel 2014/2016 mit einer neuen, unabhängigen Methode noch einmal komplett neu.

Damit diese Seite nicht bloß eine sechste unabhängige Behauptung liefert, prüft unser eigener Löser sich selbst gegen die veröffentlichte Arbeit: Er reproduziert alle fünf von Gasser und Lincke veröffentlichten Endspiel-Datenbanken auf die Symmetrieklasse genau.

Alle fünf Zeilen sind exakt getroffen.

Bemerkenswert an der letzten Zeile: Die Übereinstimmung stand zwischenzeitlich auf der Kippe. Eine erste Fassung unseres Lösers hatte in einer seltenen Stellungskonstellation (Stellungen mit ausschließlich Schlagzügen, bei denen Remis und Verlust gemischt vorkommen) zwei Abfragen in der falschen Reihenfolge und trug in 120 Stellungen des Endspiels 4 gegen 5 (von 165 Millionen) fälschlich einen Verlust ein, wo ein Schlagzug tatsächlich ins Remis führte. Über die Rückwärtsrechnung wanderte der Fehler in die größeren Endspiele, darunter 5 gegen 4 – dort fiel er beim Abgleich mit Lincke auf.

Aufgefallen ist das nur, weil die 5-4-Zeile zunächst nicht exakt passte (10.483 statt 9.940 Gewinnklassen) – eine vollständige Ein-Zug-Konsistenzprüfung jeder einzelnen Stellung mit einem unabhängig geschriebenen Zugerzeuger fand danach die genaue Ursache. Nach der Korrektur bestehen alle 104 automatisierten Selbsttests, 0 fehlgeschlagen, und die Tabelle oben zeigt das Ergebnis. Dieser Fund ist selbst der Beleg für den Wert der Gegenprobe: Ohne sie wäre die kleine Abweichung unbemerkt geblieben.

💡 Faustregel: „Mühle ist gelöst“ heißt nicht „Mühle ist witzlos“. Der Beweis sagt nur, dass beidseitig fehlerfreies Spiel remis endet – wie oft ein Fehler passiert und wie teuer er ist, verrät er nicht. Genau das zeigen die folgenden Abschnitte.

Die Sprungregel entscheidet: dieselbe Stellung, ein anderes Spiel

Fünf Regelsätze, dieselben Stellungen, ein einziger Schalter umgelegt: Darf ein Spieler mit genau drei Steinen springen (auf ein beliebiges freies Feld statt nur zum Nachbarn) oder nicht? Kein anderer Unterschied zwischen deutschen Mühle-Regelheften wirkt sich so stark aus.

Mit Sprungregel sind 4:4, 5:4 und 5:5 zu 99,89 bis 99,99 % Remis, 3:4 und 4:3 zu 87 bis 90 %. Ohne Sprungregel ist der Mehrstein fast immer ein Sieg: 5:4 zu 91,83 %, 4:3 zu 93,56 %, und selbst 4:4 ist zu 65,20 % für den Ziehenden gewonnen.

Die Sprungregel ist damit kein Randdetail für das Spielende, sondern der Grund, warum ein Stein Vorsprung im Endspiel mit vier oder fünf Steinen unter Turnier-, Verlags- und Philos-Regel praktisch nichts wert ist (mit sechs gegen fünf gewinnt der Mehrstein immerhin 23,89 %) – unter der ASS-Regel dagegen fast immer entscheidet.

💡 Faustregel: Wer nach ASS-Regel ohne Sprungregel spielt, sollte jeden geschlagenen Stein ernst nehmen – dort lohnt sich schon ein einziger Mehrstein. Unter Turnier-, Verlags- und Philos-Regel mit Sprungregel zählt dagegen erst der Weg unter drei Steine.

3 gegen 3 ist kein Remisspiel, sondern ein Wettrennen um den Zug

Ein Lehrbuch-Grundsatz zu Mühle lautet: Wer nur noch drei Steine hat und keine Drohung übersieht, kann nicht mehr verlieren. Exakt geprüft stimmt das für den Springer am Zug gegen einen Vierer-Gegner: Er verliert in 0,00 % der 3:4-Stellungen. Gegen fünf Steine steigt das Verlustrisiko leicht auf 0,37 %, gegen sechs Steine auf 2,79 %.

Umgekehrt gewinnt der Dreier-Springer gegen vier Steine sogar in 13,45 % der Stellungen (der Vierer-Spieler am Zug gewinnt in 9,92 % – aber ausschließlich mit dem sofortigen Schlag, jeder längere Gewinnversuch scheitert am Springer).

Interessant wird es dort, wo beide Seiten drei Steine halten: Ein unter Hobbyspielern verbreiteter Eindruck lautet, „3 gegen 3 endet meist remis“. Die vollständige Aufzählung aller 2.691.920 Stellungen dieses Teilraums widerlegt das deutlich: 82,92 % sind für den Ziehenden gewonnen, 16,93 % verloren, nur 0,15 % remis – der längste erzwungene Gewinn dauert 25 Halbzüge.

Was am Tisch wie ein Remis aussieht, ist also meistens ein Gewinn, den beide Seiten nicht finden. Daraus folgt eine konkrete Konsequenz: Wer selbst nur noch drei Steine hat und den vierten Stein des Gegners schlägt, schenkt dem Springer den Zug in einem 3:3, in dem die eigenen drei Steine in der gerade geschlossenen Mühle stehen – und der Springer gewinnt solche Stellungen in 86,7 % der Fälle (Remis 5,7 %, Verlust 7,6 %).

Regelsätze im Vergleich: was Turnier-, Verlags- und ASS-Regel wirklich unterscheiden

Deutsche Verlage schreiben nicht dasselbe Mühle. Die folgende Tabelle nimmt dieselben Stellungsräume und rechnet sie unter allen fünf Regelsätzen durch – die Zellen, die sich unterscheiden, zeigen exakt, welche Streitfrage etwas ändert. Den Wortlaut der einzelnen Verlagshefte stellen die Mühle-Regeln mit allen Streitfragen nebeneinander.

Drei Dinge fallen auf. Erstens: Philos (das Regelheft kennt keine ausdrückliche Blockaderegel) verschiebt die Werte kaum gegenüber Verlag – außer dort, wo überhaupt eine Blockade vorkommen kann (4:4, 5:4, 4:5), und dort werden beide Philos-Lesarten sogar zu 100,00 % Remis, weil ohne Blockadeverlust die Gewinne aus Blockade-Stellungen wegfallen. Zweitens: Turnier gegen Verlag unterscheidet sich nur dort, wo ein Spieler alle gegnerischen Steine in Mühlen zwingen kann – dazu gleich mehr. Drittens: ASS ohne Sprungregel ist mit Abstand das andere Spiel, siehe oben.

Die zweite Streitfrage – Schlagen aus einer bereits geschlossenen Mühle, wenn alle gegnerischen Steine in Mühlen stehen – wirkt nur in genau diesen Sonderstellungen, verschiebt dort aber deutlich:

Die Turnierregel seit rund 2010 (Schlagen erlaubt, wenn alle gegnerischen Steine in Mühlen stehen) macht solche Stellungen deutlich gewinnträchtiger als die ältere, restriktivere Verlagsregel – bei 6:3 steigt die Gewinnchance um rund 14 Prozentpunkte (50,8 % gegen 36,9 %), bei 5:3 verdreifacht sie sich sogar (28,1 % gegen 8,5 %). Für die meisten Partien ist das ein Randfall; wer aber am Küchentisch nach Turnierregel spielt und die Verlagsanleitung danebenlegt, spielt in diesen Stellungen tatsächlich ein anderes Spiel.

Zwickmühle: mächtige Waffe nur gegen die Übermacht

Eine Zwickmühle liegt vor, wenn ein Stein einer bereits geschlossenen Mühle auf ein Nachbarfeld ziehen und dort sofort eine zweite Mühle schließen kann – Schritt für Schritt Nachschub an geschlagenen Steinen, ohne dass der Gegner das verhindern kann. Ratgeber behandeln sie oft als praktisch spielentscheidend. Die exakte Rechnung zeigt: Das stimmt nur unter bestimmten Bedingungen.

Mit fünf gegen drei oder sechs gegen drei Steinen gewinnt die Zwickmühle immer. Mit fünf Steinen gegen einen Gegner mit vier Steinen ist sie unter Sprungregel in 195.840 Stellungen praktisch nie ein Gewinn (0,008 %): Der Schlag bringt den Gegner auf drei Steine, und ab da springt er.

Erst mit sechs Steinen gegen vier gewinnt sie in 43,7 % (Turnier) beziehungsweise 31,5 % (Verlag – weil dort aus der Dreiermühle eines auf drei Steine reduzierten Gegners nie geschlagen werden darf) der Stellungen, mit sechs gegen fünf in 46,9 %. Ohne Sprungregel (ASS) dagegen gewinnt eine Zwickmühle so gut wie immer.

Eine verwandte Formation, die Kreuzmühle (freier Kreuzpunkt, auf beiden durchlaufenden Linien je zwei eigene Steine), ist bei 6:5 sogar noch stärker als die Zwickmühle: 56,1 % gegen 46,9 %. Umgekehrt verliert der Ziehende in 5:6 mit einer gegnerischen Zwickmühle in 17,6 % der Stellungen (Mittel des Teilraums: 6,7 %), mit einer gegnerischen Kreuzmühle sogar in 23,2 %.

💡 Faustregel: Eine Zwickmühle lohnt sich als Ziel erst, wenn Sie selbst mindestens sechs Steine haben oder der Gegner dadurch unter vier Steine fällt. Mit fünf eigenen Steinen gegen genau vier ist sie unter Sprungregel fast wertlos – der nächste Schlag bringt ihn ohnehin zum Springer.

Welches Feld lohnt sich? Kreuzpunkte, T-Punkte und Ecken exakt bewertet

Das Mühlebrett hat drei Feldtypen: 4 Kreuzpunkte mit vier Nachbarn, 8 T-Punkte mit drei Nachbarn und 12 Ecken mit zwei Nachbarn; jeder Punkt liegt auf genau zwei Mühlenlinien. Die Ratgeber-Faustregel „Kreuzpunkte bevorzugen, Ecken meiden“ ist bekannt – aber wie stark der Unterschied wirklich ist, blieb bisher unbeziffert.

Steht ein eigener Stein auf einem Kreuzpunkt, gewinnt der Ziehende in 6:5 in 31,8 % der Stellungen, auf einem T-Punkt in 25,9 %, in einer Ecke nur in 19,9 %. Umgekehrt ist die Ecke in 5:6 mit 8,2 % Verlustrisiko rund 2,2-mal so gefährdet wie der Kreuzpunkt mit 3,7 %.

Die Gewinnanteile steigen in gleich großen Stufen von rund 6 Prozentpunkten (als Punktwert: Kreuzpunkt 3, T-Punkt 2, Ecke 1), das Verhältnis ist aber nur 31,8 : 25,9 : 19,9 ≈ 1,6 : 1,3 : 1. Eine im Netz kursierende Version derselben Regel behauptet, Kreuzpunkte seien „doppelt so gut“ wie Ecken – die Rechnung trägt das nicht: Es ist rund die Hälfte mehr, nicht das Doppelte.

Eine Überraschung liefern die Mittelring-Ecken (b2, b6, f2, f6): Mit 22,9 % in 6:4 liegen sie praktisch im Teilraum-Mittel, trotz Ecklage – weil sie zwischen zwei Kreuzpunkten stehen und dadurch nicht so isoliert sind wie eine reine Außen- oder Innenecke. Ohne Sprungregel (ASS, 4:4) zeigt sich dasselbe Muster noch deutlicher: Kreuzpunkt 72,4 % Gewinn, T-Punkt 66,9 %, Ecke 61,7 % – bei Verlust umgekehrt 24,0 / 28,8 / 33,4 %.

Der erste Setzstein: Kreuzpunkt schlägt T-Punkt schlägt Ecke

Auch beim Setzen der ersten Steine gilt dieselbe Rangfolge – hier aus einer Simulation zwischen Rechen-Agenten, nicht aus dem exakten Endspiel, weil die Setzphase mit 7 bis 9 Steinen nicht erschöpfend lösbar ist:

Der erste Stein auf einem Kreuzpunkt bringt gegenüber einem T-Punkt rund +0,07 Punkte, gegenüber einer Ecke +0,13 bis +0,15. Als Antwort auf einen Kreuzpunkt gilt: Nie den gegenüberliegenden Kreuzpunkt derselben Achse nehmen (b4 → f4 ergibt 0,618 für Weiß) – zwei Kreuzpunkte auf einer Achse blockieren sich nicht gegenseitig, Weiß behält die Initiative.

Besser ist eine entfernte Mittelring-Ecke (b4 → f2: 0,460) oder ein seitlicher T-Punkt (0,512). Innenecken (c3, c5, e3, e5) sind als Antwort auf eine Kreuzpunkt-Eröffnung durchweg schlecht (0,72 bis 0,78 für Weiß); nach einer T-Punkt-Eröffnung gilt das nur für die nahen Innenecken (a4 → c3: 0,735), die entfernten liegen mit 0,490 im Mittelfeld.

Wichtig für die Einordnung: Bei stärkeren Agenten verschwimmt der Effekt fast vollständig – zwischen zwei gleich starken, vorausschauenden Spielern liegen alle vier ersten Züge im Rauschen (0,47 bis 0,52). Erst wenn beide Seiten schwächer spielen, kostet die Wahl des ersten Steins wirklich etwas (bei Tiefe 2 gegen Tiefe 2 zum Beispiel 0,22 Punkte zwischen einer Außenecke und einem T-Punkt, 0,342 gegen 0,560).

Die Eröffnung ist also eher Fehlervermeidung als Gewinnstrategie. Eine feste Setzfolge stur durchzuziehen kostet dabei sogar: Eine bekannte Lehrbuch-Zugfolge als starre Vorgabe bringt nur 0,303 Punkte für Weiß, angewendet auf beiden Seiten 0,377 – eine Vorgabefolge ignoriert Drohungen, die sich erst am Brett zeigen.

Die Preisliste: was jede Faustregel wirklich kostet

Jede Faustregel lässt sich auf zwei Arten bepreisen: exakt im gelösten Endspiel (der Befolger darf nur regelkonforme Züge wählen, der Gegner spielt perfekt und kennt die Regel – gegen reale Gegner fällt der Preis eher niedriger aus) und über eine Simulation im Gesamtspiel (ein Rechen-Agent mit Zugfilter gegen einen Basisagenten ohne Filter, je 300 Partien in vier Rollen).

Die Rangfolge ist die eigentliche Nachricht. Ganze Spielweisen kosten am meisten: Ein Direktangriff-Anfänger, der jeden Zug eine neue Mühle drohen will, statt seine Steine geordnet aufzubauen, verliert 0,402 Punkte je Partie gegenüber dem Basisagenten – mehr als jede einzelne Detailregel. „Ecken zuerst besetzen“ ist mit 0,378 fast genauso teuer, obwohl es intuitiv nach solidem Aufbau klingt.

Am aufschlussreichsten ist die Beweglichkeitsregel: Wer im Zugzwang immer den Zug mit den meisten eigenen Zugmöglichkeiten wählt, verliert im Gesamtspiel 0,330 Punkte – und im gelösten Endspiel ist die Regel geradezu ruinös. Mit vier gegen vier Steinen verliert ihr Befolger 99,995 % aller Remis-Stellungen.

Das wurde eigens nachgespielt: 300 aus Remisstellungen begonnene Partien mit den Filter-Tabellen für beide Seiten enden ausnahmslos mit dem Verlust des Befolgers, im Mittel nach 27 Halbzügen. Der Mechanismus ist einfach zu verstehen: Der perfekte Gegner baut eine Pendelmühle auf, während der Befolger seine Steine in den freien Raum zieht, um beweglich zu bleiben – und der Gegner wählt seinen Schlag so, dass auch perfektes Springen danach nicht mehr hilft.

Am anderen Ende stehen Regeln, die fast nichts kosten: „Sofort schließen, wenn es geht“ verliert im Gesamtspiel nur 0,011 Punkte gegen einen Basisagenten – aber genau diese Regel kostet den Springer selbst im Endspiel viel (siehe unten). Das zeigt, warum beide Maßstäbe zusammengehören: Die Simulation misst den Alltag gegen einen normal starken Gegner, das Endspiel misst den Ernstfall gegen einen perfekten Gegner.

„Sofort schließen, wenn es geht“ kostet ausgerechnet den Springer

Eine der am häufigsten diskutierten Faustregeln lautet: Wer eine Mühle schließen und dabei einen Stein schlagen kann, sollte das immer sofort tun. Exakt bepreist zeigt sich: Das stimmt nur, solange der Gegner dabei nicht auf drei Steine fällt.

Wo der Schlag die Partie sofort beendet (3:3, 4:3, 5:3), ist die Regel kostenlos richtig. Wo er den Gegner aber auf drei Steine bringt und ihn zum Springer macht, kippt sie rund ein Viertel bis ein Drittel der Remisstellungen in Verluste (23,247 bzw. 35,167 % aller Stellungen). Das erklärt einen scheinbaren Widerspruch zwischen Ratgebern: „Sofort schließen ist gut“ und „manchmal ist es besser, nicht sofort zu schließen“ stimmen beide – je nachdem, wie viele Steine der Gegner danach noch hat.

Regel-Streitfragen mit Zahl: was sich vor der Partie zu klären lohnt

Vier Streitfragen entscheiden, ob zwei Personen mit demselben Regelheft dasselbe Spiel spielen. Hier die gemessene Wirkung jeder einzelnen, exakt im Endspiel und ergänzend in der Simulation zwischen unperfekten Agenten (was die Hefte jeweils wörtlich sagen, steht auf der Regeln-Seite):

Die Rangfolge nach Wirkung: Springen ändert das Spiel grundlegend, Blockade entscheidet jede vierte Partie zwischen nicht perfekten Spielern, Schlagen aus der Mühle wirkt spürbar, aber selten, und die Zwickmühlen-Wiederholung macht das Spiel insgesamt remislastiger. Vor jeder Partie diese vier Punkte zu klären, kostet eine Minute und verhindert genau die Art von Streit, die in Community-Diskussionen um Mühle immer wieder auftaucht.

Wer gewinnt zwischen unperfekten Spielern? Stärkeleiter und Nachzieher-Vorteil

Der bewiesene Spielwert ist Remis. Zwischen zwei Menschen, die beide gelegentlich Fehler machen, sieht das Bild anders aus – und hier hängt der Ausgang stark davon ab, wie vorausschauend beide spielen.

Jede Stufe schlägt die nächstniedrigere in rund 70 % der Partien (Tiefe 2 gegen Tiefe 1: 72,5 % als Weiß, 71,0 % als Schwarz; Tiefe 3 gegen Tiefe 2: 67,5 % / 66,0 %) – und schon die schwächste geprüfte Stufe gewinnt gegen reine Zufallszüge alle 200 Partien.

Wer gewinnt öfter, An- oder Nachziehender? Zwischen gleich starken Rechen-Agenten hängt das von deren Stärke ab: Bei Tiefe 2 gewinnt Schwarz (Nachziehender) mit 46,3 % deutlich öfter als Weiß mit 33,3 % (Rest Remis 20,3 %); bei Tiefe 3 nähert sich das Bild dem Gleichstand (43,0 % gegen 46,7 %, Remis 10,3 %); bei der kurzsichtigsten Stufe (Tiefe 1) kippt es sogar um – Weiß gewinnt mit 61,7 % gegen 34,3 %.

Ein unter Hobbyspielern verbreiteter Eindruck „der Nachziehende hat einen leichten Praxisvorteil, weil er den letzten Stein setzt“ trifft also nur bei mittlerer Vorausschau (Tiefe 2) deutlich zu, bei Tiefe 3 ist der Unterschied nicht mehr belastbar, die Gegenthese „wer anfängt, gewinnt“ nur bei sehr kurzsichtigen. Der bewiesene Spielwert bleibt in beiden Fällen Remis.

Wie belastbar diese Zahlen sind

Die exakten Endspielzahlen dieser Seite stammen aus einem eigenen Löser, der alle Stellungen der Zugphase mit drei bis sechs Steinen je Seite vollständig aufzählt – unter Turnierregel bis zusammen elf Steine (5:6), unter Verlagsregel bis zehn, unter ASS und Philos bis neun (6:3, 5:4) – ohne Symmetriereduktion, also jede einzelne Stellung einzeln bewertet, nicht nur eine Stichprobe. Fünf Regelsätze laufen mit demselben Rechenweg, nur mit anderen Schaltern für Springen, Blockade und Schlagen aus der Mühle.

Jede Stellung jedes Teilraums aller fünf Regelsätze wurde anschließend mit einer vollständigen Ein-Zug-Konsistenzprüfung gegengeprüft – ein unabhängig geschriebener Zugerzeuger bestätigt für jede einzelne Stellung, dass ihr Wert dem besten Nachfolgerwert entspricht: 0 Abweichungen über insgesamt mehrere Milliarden geprüfte Stellungen.

Dazu kommt die Gegenprobe gegen die fünf veröffentlichten Datenbanken von Gasser und Lincke (Tabelle oben, alle exakt getroffen) und ein Selbsttest mit 104 bestandenen, 0 fehlgeschlagenen Einzelprüfungen. Ein Fehler gehört ehrlich dazu und ist oben bereits beschrieben: Die erste Fassung des Lösers prüfte in einer seltenen Stellungskonstellation zwei Bedingungen in der falschen Reihenfolge. Das betraf 120 Stellungen im Teilraum 4:5 und verriet sich über die Abweichung in der 5-4-Datenbank. Nach der Korrektur stimmen alle fünf Datenbanken exakt.

Die Simulationszahlen (Eröffnungsentscheidung, Faustregel-Profile im Gesamtspiel, Stärkeleiter, Nachzieher-Vorteil zwischen unperfekten Spielern) sind dagegen Simulationsgrößen zwischen Rechen-Agenten, keine Spieltheorie – sie beschreiben, wie sich Alpha-Beta-Agenten der Suchtiefe 1 bis 3 gegeneinander verhalten, nicht, wie zwei Menschen spielen würden.

Was diese Zahlen nicht zeigen

Vier Einschränkungen gehören zur Ehrlichkeit dieser Seite dazu:

• Nur Endspiele, kein Gesamtspiel. Alle exakten Prozentzahlen gelten für die Zugphase mit höchstens sechs Steinen je Seite. Aussagen über Setzphase und Mittelspiel mit sieben bis neun Steinen stammen ausschließlich aus der Simulation oder aus der Literatur.
• Anteile sind gleichgewichtet, nicht partie-typisch. Jede Stellung eines Teilraums zählt gleich viel, unabhängig davon, wie oft sie in echten Partien tatsächlich vorkommt – dieselbe Konvention wie bei Gasser und Lincke, aber ein Grund, warum diese Prozentzahlen nicht direkt „so oft passiert das am Tisch“ bedeuten.
• Die Zwickmühlen-Wiederholungsregel (dieselbe Mühle nicht zweimal nacheinander) ist nur in der Simulation abgebildet, nicht exakt gerechnet – sie bräuchte eine Zughistorie, die der Endspiel-Löser nicht führt.
• Die exakten Faustregel-Preise gelten gegen einen perfekten Gegner, der die Regel kennt und ausnutzt. Gegen reale Gegner liegen sie eher niedriger; die Simulationspreise hängen zusätzlich an der Stärke des Basisagenten.

Eine weitere, 2016 veröffentlichte Arbeit untersucht nach unserer Recherche als bislang einzige gezielt die Wirkung von vier Standard-Regelkombinationen auf den Verlauf des perfekten Spiels; ihr Volltext war für diese Analyse nicht zugänglich. Ein Abgleich unserer Streitfragen-Befunde damit steht noch aus.

Häufige Fragen zu Mühle-Wahrscheinlichkeiten

Fazit

Drei Zahlen lohnen sich zu merken: 91,83 % als Beispiel dafür, wie stark die Sprungregel das Endspiel verändert, 82,92 % als Beleg, dass 3 gegen 3 kein Remisspiel ist, und 0,402 als teuerste Faustregel der Simulation (Direktangriff).

Für die nächste Partie heißt das vor allem: vor dem ersten Zug klären, ob mit oder ohne Sprungregel gespielt wird, den ersten Stein auf einen Kreuzpunkt setzen und eine Zwickmühle nicht überschätzen, solange Sie selbst nur fünf Steine haben und der Gegner vier oder fünf. Welche dieser Zahlen sich in konkrete Zugentscheidungen übersetzen, zeigt der Mühle-Strategie-Guide.

Quellen und Datenbasis

• Ralph Gasser, „Solving Nine Men’s Morris“, Computational Intelligence 12(1):24–41 (1996), https://www.cs.brandeis.edu/~storer/JimPuzzles/GAMES/NineMensMorris/INFO/GasserArticle.pdf – abgerufen 23.09.2026 – Erstlösung, Regelannahmen, 83-%-Wert der 3-3-Datenbank, 187-Halbzug-Rekord.
• Thomas Lincke, „Perfect Play using Nine Men’s Morris as an example“, Diplomarbeit ETH Zürich, 1994, https://muehlespieler.de/download/diplomarbeit_nine_mens_morris.pdf – abgerufen 23.09.2026 – die fünf Gegenprobe-Datenbanken 3-3, 4-3, 4-4, 5-3, 5-4.
• Gábor E. Gévay, Gábor Danner, „Calculating Ultra-Strong and Extended Solutions for Nine Men’s Morris, Morabaraba, and Lasker Morris“, arXiv:1408.0032, https://arxiv.org/abs/1408.0032 – abgerufen 23.09.2026 – dritte unabhängige Lösung.
• Dr. Rainer Rosenberger, Mühle-Lehrbuch, Version 1.9, https://muehlespieler.de/download/muehle_lehrbuch.pdf – abgerufen 23.09.2026 – Lehrbuch-Grundsätze zum Springer-Endspiel und zu Setzphasen-Faustregeln.
• Ravensburger® Spiele Nr. 20545, Regelheft „Classic Compact Mühle und Dame“, https://www.ravensburger.org/spielanleitungen/ecm/Spielanleitungen/20545_anl_1948950.pdf – abgerufen 23.09.2026 – Regelsatz „Verlag“, außer gegen den Springer (dort wie Turnier).
• Schmidt Spiele, Regelheft „100er Spielesammlung“ Art. 49147, https://www.schmidtspiele.de/files/Produkte/4/49147%20-%20Spielesammlung/49147_Spielesammlung_100-D.pdf – abgerufen 23.09.2026 – Regelsatz „Verlag“.
• Philos GmbH & Co. KG, Regelheft „Mühle“ Art. 3295, https://www.philosshop.de/media/produktdaten/spielanleitungen/3295.pdf – abgerufen 23.09.2026 – Regelsatz „Philos“, Blockade-Lücke.
• ASS Altenburger, Regelheft „100er Spielesammlung“ (Spiel „Mühle“), https://www.spielkarten.com/wp-content/uploads/2019/07/0_100erSpielesammlung.pdf – abgerufen 23.09.2026 – Regelsatz „ASS“ ohne Sprungregel.
• Eigene Berechnung: Spielstrategen, Stand September 2026 – eigener Retrograde-Löser für fünf Regelsätze mit vollständiger Ein-Zug-Konsistenzprüfung aller Stellungen; Zwickmühlen- und Kreuzmühlen-Auswertung; Faustregel-Preise als Einschränkungs-Rechnung; Simulation zwischen Rechen-Agenten (Alpha-Beta-Suche, Suchtiefe 1–3) für Setzphase, Faustregel-Profile und Stärkeleiter.

Zitieren: Spielstrategen (2026): „Mühle gelöst: die Zahlen hinter dem ewigen Remis“, https://spielstrategen.de/spiele/muehle/zahlen/ – eigene Berechnungen, Stand: September 2026. Zahlen dürfen mit Quellenangabe übernommen werden.